Дважды, в 2008-м и 2009-м, Роберт побеждал на Международных Гранд Финалах серии Easykart, а затем, перейдя в класс «Мини» (это карты с моторами 60cc), в возрасте 11 лет выиграл Чемпионат Италии по картингу CSAI, став единственным в истории иностранцем, победившем в итальянском чемпионате.
Затем выступал в юниорской категории KF3 (позже – KFJ) в Европе, где завоевал 31 поул, 22 победы и 45 подиумов в 80 стартах. Среди достижений юного спортсмена — победа в престижном WSK Final Cup в 2013 году.
В 14 лет Роберт перешел во «взрослые» формулы, где до 15 лет был тест-пилотом. В 2014 — 2015 годах выступал в «Формуле 4» (3 победы, 17 подиумов и 5 поул-позиций).
С 2016 года Шварцман принимал участие в европейской серии «Формула Рено 2.0», где стал лучшим новичком года, а в 2017-м претендовал на победу в Eurocup Formula Renault 2.0, но в результате нескольких спорных дисквалификаций стал третьим.
В 2017 Scuderia Ferrari объявила о включении 18-летнего российского гонщика Роберта Шварцмана в свою программу поддержки молодых пилотов – Ferrari Driver Academy.
В 2018-м Роберт Шварцман выступает в «Формуле 3», начав с победы в новозеландской серии Castrol Toyota Racing Series New Zeаland, а затем принимает участие в Чемпионате Европы FIA Formula 3, в компании немца Мика Шумахера (сына Михаэля), ставшего Чемпионом, Дэна Тиктума (Англия, пилот программы Red Bull), и других сильных гонщиков. Роберт закончил сезон на третьем месте в общем зачёте, и первым среди новичков!
По итогам сезона Международная Автомобильная Федерация признала Роберта Шварцмана лучшим новичком 2018 года. 7 декабря Роберт примет участие в церемонии награждения чемпионов мира по автомобильному спорту.
